問(wèn)題：設(shè)為Q(x)為37x?³－73x³?+36除以x－1的商。求各系數(shù)之和。

答案：原式=37(x?³－1)－73(x³?－1）=（x－1)[37(x?²+x?¹+...+1)－73(x³?+x³?+...+1)]。

那麼中括號(hào)內(nèi)就是Q(x)，各系數(shù)之和就是Q(1)=37×73－73×37=0。

題解中發(fā)現(xiàn)36=73－37，又留意到xn－1的形式，有因式x－1，那樣根據(jù)恒等式xn－1=(x－1)(xn－1+xn－2+...+1)，再提取因式x－1，就得出了有中括號(hào)那道算式。而系數(shù)的和就是多項(xiàng)式裏未知數(shù)為1時(shí)的函數(shù)值，代入就得出了答案。

這題做起來(lái)，一開(kāi)始說(shuō)Q(x)是商，這裏沒(méi)提起有沒(méi)有餘數(shù)，不過(guò)簡(jiǎn)單地用上餘式定理，見(jiàn)到37×173－73×137+36=0，就知道餘數(shù)為0，於是就想起能直接分解原本的算式。要把原式除以x－1，課內(nèi)的做法有長(zhǎng)除和綜合除法，這兩個(gè)方向看來(lái)也不太方便，雖說(shuō)可能多少能觀察到規(guī)律，但也較複雜。

題解當(dāng)中第一步就把原式變形，有兩個(gè)xn－1形式的算式是關(guān)鍵一步，也是較難想出來(lái)的一步。有時(shí)在課內(nèi)訓(xùn)練多了，直接就想用長(zhǎng)除，發(fā)現(xiàn)麻煩時(shí)又未必想得出有其他可能，初嘗試時(shí)若想得出變形這一步，也真是挺不容易的。

這下變形，除了可以有效地分解題目裏的算式，提出x－1的因式以外，還是處理多項(xiàng)式時(shí)一個(gè)較普遍的做法，看到多項(xiàng)式除以x－1時(shí)的商式，對(duì)於未知數(shù)的各個(gè)次方，分別考慮減1的情況，比如x5+2x3，變成(x5－1)+2(x3－1)+3=(x－1)[(x4+x3+...+1)+2(x2+x+1)]+3，比起用長(zhǎng)除更方便一些。

平常觀察多項(xiàng)式的根，通常都用一些簡(jiǎn)單數(shù)字，比如1，看看是不是根，若果試到了又想做些因式分解，上述技巧就較有用。另外，就今天的題來(lái)說(shuō)，由於算式裏未知數(shù)的指數(shù)為單數(shù)，要是找除以x+1的商式，技巧也是差不多的。

當(dāng)然，若果推廣一下，也可以想想普遍除以x－a的商式，技巧也可以差不多做到，只是畢竟數(shù)字麻煩了不少，效果就沒(méi)上述當(dāng)a為1的時(shí)候那麼明顯。

這題來(lái)說(shuō)，推廣到在普遍的多項(xiàng)式裏，除以x－1時(shí)有個(gè)好的想法也就差不多了，要是再推廣得遠(yuǎn)一點(diǎn)，看來(lái)又沒(méi)什麼簡(jiǎn)潔有力的結(jié)果，用起來(lái)數(shù)字又變大了，運(yùn)算的負(fù)擔(dān)大了，趣味又少了。

從求學(xué)樂(lè)趣的角度來(lái)說(shuō)，見(jiàn)著題目的技巧，多少作一點(diǎn)推廣，推廣到在較大的範(fàn)圍下，較常見(jiàn)的情景下，都能普遍適用，那樣趣味就大了，技巧由一種見(jiàn)識(shí)變成了一項(xiàng)能力，令自己觀察平常的情景時(shí)多了個(gè)思考角度，嘗試起來(lái)又多了新方法，那樣就會(huì)愈學(xué)愈覺(jué)得有趣。

數(shù)學(xué)技巧的運(yùn)用，首先是在一些常見(jiàn)的大問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)新的想法，在某個(gè)特殊情景下，有個(gè)好的解決方法。上述的推廣裏，就是在面對(duì)普遍的多項(xiàng)式裏，除以x－1時(shí)的商式，這些情景比較常見(jiàn)，經(jīng)常就能夠用上技巧，容易感覺(jué)到技巧的實(shí)用。

● 張志基

簡(jiǎn)介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數(shù)培訓(xùn)之註冊(cè)慈善機(jī)構(gòu)(編號(hào)：91/4924)，每年均舉辦「香港小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克比賽」，旨在發(fā)掘在數(shù)學(xué)方面有潛質(zhì)的學(xué)生。學(xué)員有機(jī)會(huì)選拔成為香港代表隊(duì)，獲免費(fèi)培訓(xùn)並參加海內(nèi)外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。